新春特献 | 仿佛来自虚空——亚历山大-凯发k8一触即发

►格洛腾迪克在ihés给学生上课。图片来源：the grothendieck circle

撰文 | allyn jackson（ams notices 高级作家和编辑）

翻译 | 欧阳毅（中国科技大学数学系教授）

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——《收获与播种》，第169页

1958年6月，在巴黎索邦举行的发起人会议上，高等科学研究所（institut des hautes   études scientifiques, ihés）正式成立。ihés的创始人léon motchane，一位具有物理博士学位的商人，设想在法国成立一个和普林斯顿的高等研究院类似的独立的研究型学院。ihés的最初计划是集中做三个领域的基础研究：数学，理论物理和人类科学方法论。尽管第三个领域从来没有在那立足过，在10年时间里，ihés已经建设成为世界上最顶尖的数学和理论物理中心之一，拥有一群为数不多但素质一流的成员和一个很活跃的访问学者计划。

根据科学史家david aubin的博士论文[aubin]，就是在1958年爱丁堡数学家大会或者可能更前的时候，motchane说服dieudonné和格洛腾迪克接受新设立的ihés的教授职位。cartier在[cartier2]中说motchane起初希望聘用dieudonné，而dieudonné则将格洛腾迪克的聘请作为他接受聘请的一个条件。因为ihés从一开始就是独立于国家的，聘请格洛腾迪克不是一个问题，尽管他是无国籍人。两位教授在1959年3月正式上任，格洛腾迪克在同年5月开始他的代数几何讨论班。rené thom，1958年大会菲尔兹奖章获得者，在1963年10月加入，而ihés的理论物理部随着1962年louis michel和1964年david ruelle的任命开始进行活动。就这样到1960年代中期，motchane就已经为他的新研究所招募了一群杰出的研究人员。

到1962年的时候，ihés还没有永久的活动场所。办公场所是从thiers基金会租用的，讨论班也在那里或巴黎的大学里举行。aubin报道说一位叫arthur wightman的ihés早期访问学者就被希望在他的旅馆房间里工作。据说，当一位访问学者告之图书馆资料不足的时候，格洛腾迪克回答说：“我们不读书的，我们是写书的！”的确在最初几年里，研究所的很多活动是围绕“publications mathématiques de l'ihés”进行的，它的起初几卷包括奠基性著作éléments de géométrize algébrique，其以起首字面缩写ega而闻名于世。事实上ega的撰写在dieudonné和格洛腾迪克正式于ihés上任前半年就已经开始了；[corr]里提及最初写作的日期是1958年的秋天。

ega的著述者通常认为是格洛腾迪克，“与jean dieudonné的合作”。格洛腾迪克将笔记和草稿写好，然后由dieudonné充实和完善。根据armand borel的解释，格洛腾迪克是把握ega全局的人，而dieudonné只是对此有逐行的理解。“dieudonné将它写得相当繁琐，”borel评论说。同时，“dieudonné当然又有令人难以置信的高效。没有别的人可以将它写好而不严重影响自己的工作。”对于当时那些想进入这个领域的人来说，从ega中学习是一件令人望而生畏的挑战。目前它很少作为这个领域的入门书，因为有其他许多更容易入门的教材可供选择。不过那些教材并没有做ega打算做的事，也就是完全而系统地解释清楚研究概型所需要的一些工具。现在在波恩的马克斯-普朗克数学研究所的gerd faltings，当他在普林斯顿大学的时候，就鼓励自己的博士研究生去学ega。对很多数学家而言，ega仍然是一本有用而全面的参考书。ihés的现任所长jean-pierre bourguignon说每年研究所仍然要卖掉超过100本的ega。

格洛腾迪克计划中ega要包括的东西十分多。在1959年8月给serre的信中，他给了个简要的大纲，其中包括基本群，范畴论，留数，对偶，相交数，weil上同调，加上“如果上帝愿意，一点同伦论”。“除非有不可预知的困难或者我掉入泥沼里去了，这个multiplodocus应该在三年内或最多四年内完成，”格洛腾迪克很乐观地说，此处他应用了他和serre的玩笑用语multiplodocus，其意是指一篇很长的文章。“我们接下去就可以开始做代数几何了！”格洛腾迪克欢呼道。后来的情况表明，ega在经过近乎指数式增长后失去了动力：第一章和第二章每章一卷，第三章两卷，而最后一章第四章则达到了四卷。它们一共有1800多页。尽管ega没有达到格洛腾迪克计划的要求，它仍然是一项里程碑式的著作。

ega这个标题仿效nicolas bourbaki的《数学原理》系列的标题不是偶然的，正如后者仿效欧几里得的《几何原本》也不偶然一样。格洛腾迪克从1950年代后期开始，数年内曾经是布尔巴基学派的成员，而且他和学派内很多成员关系密切。布尔巴基是一群数学家的笔名，其大多数是法国人，他们在一起合作撰写数学方面一系列基础性的著作。dieudonné和henri cartan，claude chevalley，jean delsarte，andré weil一起，是布尔巴基学派的创始成员。一般情况下学派有10名成员，其组成随着岁月而演化。布尔巴基最早的书出版于1939年，而它的影响在1950年代和1960年代达到了顶峰。这些书籍的目的是对数学的中心领域提供公理化的处理，使其一般性程度足以对最大数目的数学家有用处。这些著作都是经过成员间激烈甚至火爆的辩论的严格考验才诞生的，而这些成员中的许多人都有很强的人格和非常个性化的观点。曾是布尔巴基成员25年的borel写道这个合作可能是“数学史上的独特事件”[borel]。布尔巴基汇聚了当时许多的顶尖数学家的努力，他们无私的匿名奉献自己的大量时间和精力来撰写教材，使得这个领域的一大部分容易让大家理解。这些教材有很大的影响，到1970和1980年代，有人埋怨布尔巴基的影响太大了。还有人也批评这些书的形式过于抽象和一般化。

布尔巴基和格洛腾迪克的工作有一些相似之处，此表现在抽象化和一般化的程度上，也表现在其目的都是基本、细致而有系统。他们间的主要区别是布尔巴基包括了数学研究的一系列领域，而格洛腾迪克主要关注在代数几何上发展新的思想，以weil猜想作为其主要的目标。格洛腾迪克的工作差不多集中在他自己的内在观点上，而布尔巴基则是铸造他的成员们的不同观点的结合的合作努力。

borel在[borel]中描述了1957年3月布尔巴基的聚会，他称之为“顽固的函子大会”，因为格洛腾迪克提议一篇关于范畴论的bourbaki草稿应该从一个更范畴论的观点来重写。布尔巴基没有采用这个想法，认为这将导致无穷无尽的基础建设的循环往复。格洛腾迪克“不能够真正和布尔巴基合作，因为他有他自己的庞大机器，而布尔巴基对他而言，还不够一般化，”serre回忆说。另外，serre评论道：“我认为他不是很喜欢布尔巴基这样的体系，在此我们可以真正详细讨论草稿并且批评它们……这不是他做数学的方式。他想自己单干。”格洛腾迪克在1960年离开布尔巴基，尽管他继续和其中很多成员关系密切。

有些故事传说格洛腾迪克离开布尔巴基是因为他和weil的冲突，实际上他们在布尔巴基时间上仅仅有很短的重合：根据惯例，成员必须在50岁的时候退休，所以weil在1956年离开了学派。然而，格洛腾迪克和weil作为数学家很不一样倒的确是事实。根据deligne的说法：“weil不知为何觉得格洛腾迪克对意大利几何学家们的工作和对经典文献阐明的结果太无知了，而且weil不喜欢这种建造巨大机器的工作方式……他们的风格相当不一样。”

除去ega以外，格洛腾迪克代数几何全集的另外一个主要部分是séminaire de géométrie algébrique du bois marie，简称sga，其中包括他的ihés讨论班的演讲的讲义。它们最初由ihés分发。sga2由north holland和masson合作出版的，而其他几卷则是由springer-verlag出版。sga1整理自1960-1961年讨论班，而这个系列最后的sga7则来自1967-1969年的讨论班。与目的是为了奠基的ega不一样，sga描述的是出现在格洛腾迪克讨论班上的正在进行的研究。他也在巴黎布尔巴基讨论班上介绍了很多结果，它们被合集为fga，即fondements de la géometrie algébrique，其出版于1962年。ega，sga和fga加起来大约有7500页。 

►ega的标题页，章节一。图片来源：the grothendieck circle

在《收获与播种》第一卷里，格洛腾迪克对他的工作作了一个解释性的概括，意在让非数学家能够理解（第25－48页）。在那儿他写道，从最根本上来讲，他的工作是寻找两个世界的统一：“算术世界，其中（所谓的）‘空间’没有连续性的概念，和连续物体的世界，其中的‘空间’在恰当的条件下，可以用分析学家的方法来理解”。weil猜想如此让人渴望正是因为它们提供了此种统一的线索。胜于直接尝试解决weil猜想，格洛腾迪克大大地推广了它们的整个内涵。这样做可以让他感知更大的结构，这些猜想所凭依于此结构，却只能给它提供惊鸿一瞥。在《收获与播种》这一节里，格洛腾迪克解释了他工作中一些主要思想，包括概型、层和拓扑斯。

基本上说，概型是代数簇概念的一个推广。给定一组素特征有限域，一个概型就可以产生一组代数簇，而每一个都有它自己与众不同的几何结构。“这些具有不同特征的不同代数簇构成的组可以想象为一个‘由代数簇组成的无限扇面的扇子’（每个特征构成一个扇面），”格洛腾迪克写道。“‘概型’就是这样的魔术扇子，就如扇子连接很多不同的‘分支’一样，它连接着所有可能特征的‘化身’或‘转世’。”到概型的推广则可以让大家在一个统一方法下，研究一个代数簇所有的不同“化身”。在格洛腾迪克之前，“我认为大家都不真正相信能够这样做，”michael artin评论说，“这太激进了，没有人有勇气哪怕去想象这个方法可能行，甚至可能在完全一般的情况下都行。这个想法真的太出色了。”

从19世纪意大利数学家enrico betti的远见开始，同调和它的对偶上同调那时候已经发展成为研究拓扑空间的工具。基本上说，上同调理论提供一些不变量，这些不变量可以认为是衡量空间的这个或那个方面的‘准尺’。由weil猜想隐含着的洞察力所激发的巨大期望就是拓扑空间的上同调方法可以适用于簇与概型。这个期望在很大程度上由格洛腾迪克及其合作者的工作实现了。“就象夜以继日一样将这些上同调技巧带到”代数几何中，mumford注意到。“它完全颠覆了这个领域。这就象傅立叶分析之前和之后的分析学。你一旦知道傅立叶分析的技巧，突然间你看一个函数的时候就有了完全深厚的洞察力。这和上同调很类似。” 

层的概念是由让-勒雷所构想而后由henri cartan和jean-pierre serre进一步发展的。在他的奠基性文章fac（“faisceaux algébriques cohérents”,“代数凝聚层”，[fac]）中，serre论证了如何将层应用到代数几何中去。格洛腾迪克在《收获与播种》中描述了这个概念如何改变了数学的全貌：当层的想法提出来后，就好象原来的五好标准上同调“准尺”突然间繁殖成为一组无穷多个新“准尺”，它们拥有各种各样的大小和形状，每一个都完美地适合它自己独特的衡量任务。更进一步说，一个空间所有层构成的范畴包含了如此多的信息，本质上人们可以“忘记”这个空间本身。所有这些的信息都包括在层里面——格洛腾迪克称此为“沉默而可靠的向导”，引领他走向发现之路。

拓扑斯的概念，如格洛腾迪克所写，是“空间概念的变体”。层的概念提供了一种办法，将空间所依附的拓扑设置，转化为层范畴所依附的范畴设置。拓扑斯则可以描述为这样一个范畴，它尽管无需起因于普通空间，然而却具有所有层范畴的“好”的性质。拓扑斯的概念，格洛腾迪克写道，突出了这样的事实：“对于一个拓扑空间而言真正重要的根本不是它的‘点’或者点构成的子集和它们的亲近关系等等，而是空间上的层和层构成的范畴”。

为了提出拓扑斯的概念，格洛腾迪克“很深入地思考了空间的概念”，deligne评价道。“他为理解weil猜想所创立的理论首先是创立拓扑斯的概念，将空间概念推广，然后定义适用于这个问题的拓扑斯，”他解释说。格洛腾迪克也证实了“你可以真正在其上面工作，我们关于普通空间的直觉在拓扑斯上仍然适用……这是一个很深刻的想法。”

在《收获与播种》中格洛腾迪克评论道，从技术观点而言，他在数学上的大多工作集中在发展所缺乏的上同调理论。平展上同调（étale cohomology）就是这样一种理论，由格洛腾迪克、michael artin以及其他一些人所发展，其明确意图是应用于weil猜想，而它确实是最终证明的主要因素之一。但是格洛腾迪克走得更远，发展了motive的概念，他将此描述为“终极上同调不变量”，所有其他的上同调理论都是它的实现或者化身。motive的完整理论至今还没有发展起来，不过由它产生了大量好的数学。比如，在1970年代，高等研究院的deligne和robert langlands猜想了motives和自守表示间的精确关系。这个猜想，现在是所谓langlands纲领的一部分，首次以印刷形式出现在[langlands]一文中。多伦多大学的james arthur认为彻底证明这个猜想将是数十年后的事情。但他指出，andrew wiles的fermat大定理的证明，本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲线所产生的2维motives的特殊情况。另外一个例子是高等研究院的vladimir voevodsky在motivic上同调的工作，由此他获得2002年菲尔兹奖章。这个工作发展了格洛腾迪克关于motive的一些原始想法。

在此关于他数学工作的简短回顾中，格洛腾迪克写道，构成它的精华和力量的，不是大的定理，而是“想法，甚至梦想”（第51页）。 

►格洛腾迪克在ihés给学生上课，教sga。图片来源：the grothendieck circle

在1961年秋访问哈佛时，格洛腾迪克致信给serre：“哈佛的数学气氛真是棒极了，和巴黎相比是一股真正的清新空气，而巴黎的情况则是一年年里越来越糟糕。这里有一大群学生开始熟悉概型的语言，他们别无所求，只想做些有趣的问题，我们显然是不缺有趣的问题的”[corr]。michael artin，其于1960年在zariski指导下完成论文，此时正是哈佛的benjamin pierce讲师。完成论文之后，artin马上开始学习新的概型语言，他也对平展上同调的概念感兴趣。当格洛腾迪克1961年来哈佛的时候，“我询问他平展上同调的定义，”artin笑着回忆说。这个定义当时还没有明确给出来。artin说道：“实际上整个秋天我们都在辩论这个定义。”

1962年搬到麻省理工学院后，artin开了个关于平展上同调的讨论班。接下去两年大部分时间他在ihés度过，和格洛腾迪克一起工作。平展上同调的定义完成后，仍然还有许多工作要做来驯服这个理论，让它变成一个可以真正使用的工具。“这个定义看上去很美，不过它不保证什么东西是有限的，也不保证可计算，甚至不保证任何东西，”mumford评论道。这些就是artin和格洛腾迪克要投入的工作；其中一个结果就是artin可表定理。与jean-louis verdier一起，他们主持了1963-1964年的讨论班，其主题即平展上同调。这个讨论班写成为sga4的三卷书，一共差不多1600页。

可能有人不同意格洛腾迪克对1960年代早期巴黎数学氛围“糟糕”的评价，但毫无疑问，当他在1961年回到ihés，重新开始他的讨论班时，巴黎的数学氛围得到了相当大的加强。那里的气氛“相当棒”，artin回忆说。这个讨论班参加者人数众多，包括巴黎数学界的头面人物以及世界各地来访的数学家。一群出色而好学的学生围绕在格洛腾迪克周围，在他的指导下写论文（由于ihés不授予学位，名义上说他们是巴黎市内外一些大学的学生）。1962年，ihés搬到它的永久之家，位于巴黎郊区bures-sur-yvette一个叫bois-marie，宁静而树木丛生的公园里。那个举行讨论班的舞台式建筑，及其大绘图窗户和所赋予的开放而通透的感觉，给这里提供了一种不凡而生动的背景。格洛腾迪克是所有活动的激情四射的中心。“这些讨论班是非常交互式的，”hyman bass回忆说，他于1960年代访问过ihés，“不过不管格洛腾迪克是不是发言人，他都占着统治地位。”他特别严格而且可能对人比较苛求。“他不是不善心，但他也不溺爱学生。”bass说道。

格洛腾迪克发展了一套与学生工作的固定模式。一个典型例子是巴黎南大学的luc illusie（老耶律），他于1964年成为格洛腾迪克的学生。老耶律曾参加了巴黎的henri cartan和laurent schwartz讨论班，正是cartan建议老耶律或许可以跟随格洛腾迪克做论文。老耶律其时还只学习过拓扑，很害怕去见这位代数几何之“神”。后来表明，见面的时候格洛腾迪克相当友善，他让老耶律解释自己已经做过的事情。老耶律说了一小段时间后，格洛腾迪克走到黑板前，开始讨论起层、有限性条件、伪凝聚层和其他类似的东西。“黑板上的数学就象海一样，象那奔流的溪流一样，”老耶律回忆道。最后，格洛腾迪克说下一年他打算将讨论班主题定为l-函数和l-adic上同调，老耶律可以帮助记录笔记。当老耶律抗议说他根本不懂代数几何时，格洛腾迪克说没关系：“你很快会学会的。”

老耶律的确学会了。“他讲课非常清楚，而且他花大力气去回顾那些必需的知识，包括所有的预备知识，”老耶律评价道。格洛腾迪克是位优秀的老师，非常有耐心而且擅于清楚解释问题。“他会花时间去解释非常简单的例子，来证明这个机器的确可以运行，”老耶律说。格洛腾迪克会讨论一些形式化的性质，那些常常被人归结到“平凡情况”因而太明显而不需要讨论的性质。通常“你不会去详述它，你不会在它上面花时间，”老耶律说，但这些东西对于教学非常有用。“有时有点冗长，但是它对理解问题很有帮助。”

格洛腾迪克给老耶律的任务是记录讨论班一些报告的笔记——准确说，是sga5的报告i，ii和iii。笔记完成后，“当我将它们交给他时全身都在发抖，”老耶律回忆道。几个星期后格洛腾迪克告诉老耶律到他家去讨论笔记；他常常与同事和学生在家工作。格洛腾迪克将笔记拿出来放在桌子上后，老耶律看到笔记上涂满了铅笔写的评语。两个人会坐在那里好几个小时来让格洛腾迪克解释每一句评语。“他可能评论一个逗号、一个句号的用法，可能评论一个声调的用法，也可能深刻评论关于一个命题的实质并提出另一种组织方法——各种各样的评论都有，”老耶律说道，“但是他的评语都说到点子上。”这样逐行对笔记做评论是格洛腾迪克指导学生很典型的方法。老耶律回忆起有几个学生因为不能忍受这样近距离的批评，最终在别人指导下写了论文。有个学生一次见过格洛腾迪克后差点流眼泪了。老耶律说：“我记得有些人很不喜欢这样的方式。你必须照这样做……但这些批评不是吹毛求疵。”

nicholas katz在他以博士后身份于1968年访问ihés时也被给了个任务。格洛腾迪克建议katz可以在讨论班上做个关于lefschetz pencils的报告。“我曾听说过lefschetz pencils，但除去听说过它们之外我对它们几乎一无所知，”katz回忆说。“但到年底的时候我已经在讨论班上做过几次报告了，现在这些作为sga7的一部分留传了下来。我从这里学到了相当多的东西，这对我的未来起了很多影响。”katz说格洛腾迪克一周内可能会去ihés一次去和访问学者谈话。“绝对令人惊讶的是他不知怎么可以让他们对某些事情感兴趣，给他们一些事情做，”katz解释说，“而且，在我看来，他有那种令人惊讶的洞察力知道对某个人而言什么问题是个好问题，可以让他去考虑。在数学上，他有种很难言传的非凡魅力，以至于大家觉得几乎是一项荣幸——被请求在格洛腾迪克对未来的远见卓识架构里做些事情。”

哈佛大学的barry mazur至今仍然记得在1960年代早期在ihés和格洛腾迪克最初一次谈话中，格洛腾迪克给他提出的问题，那个问题起初是gerard washnitzer问格洛腾迪克的。问题是这样的：定义在一个域上的代数簇能否由此域到复数域的两个不同嵌入而得到不同的拓扑微分流形？serre早前曾给了些例子说明两个拓扑流形可能不一样。受这个问题的激发，mazur后来和artin在同伦论上做了些工作。但在格洛腾迪克说起这个问题的时候，mazur还是个全心全意的微分拓扑学家，而这样的问题本来他是不会碰到的。“对于格洛腾迪克，这是个很自然的问题，”mazur说道，“但对我而言，这恰好是让我开始从代数方面思考的动力。”格洛腾迪克有种真正的天赋来“给人们搭配未解决问题。他会估量你的能力而提出一个问题给你，而它正是将为你照亮世界的东西。这是种相当奇妙而罕见的感知模式。”

►格洛腾迪克在ihés给学生上课，教sga。图片来源：the grothendieck circle

在和ihés的同事及学生工作外，格洛腾迪克和巴黎外一大群数学家保持着通信联系，其中有些正在别的地方在部分他的纲领上进行工作。例如，加州大学伯克莱分校的robin hartshorne 1961年的时候正在哈佛上学，从格洛腾迪克在那所做的讲座里，他得到关于论文主题的想法，即研究希尔伯特概型。论文完成后hartshorne给已经回到巴黎的格洛腾迪克寄了一份。在日期署为1962年9月27日的回信中，格洛腾迪克对论文做了些简短的正面评价。“接下去3到4页全是他对我可能可以发展的更深定理的想法和其他些关于这个学科大家应该知道的东西，”hartshorne说。他注意到信中建议的有些事情是“不可完成的困难”，而其他一些则显示了非凡的远见。倾泄这些想法后，格洛腾迪克又回来谈及论文，给了3页详细的评语。

在他1958年爱丁堡数学家大会的报告中，格洛腾迪克已经概述了他关于对偶理论的想法，但由于他在ihés讨论班中正忙着别的一些主题，没有时间来讨论它。于是hartshorne提出自己在哈佛开一个关于对偶的讨论班并将笔记记录下来。1963年夏天，格洛腾迪克给了hartshorne大约250页的教案（prenote），这将成为hartshorne这年秋天开始的讨论班的基础。听众提出的问题帮助hartshorne发展和提炼了对偶理论，他并开始将它系统记录下来。他会将每一章都寄给格洛腾迪克来接受批评，“它回来的时候整个都布满了红墨水，”hartshorne回忆道，“于是我将他说的都改正了并即给他寄新的版本。它被寄回时上面的红墨水更多。”意识到这可能是个无穷尽的过程后，hartshorne有天决定将手稿拿去出版；此书1966年出现在springer的lecture notes系列里[hartshorne]。

格洛腾迪克“有如此多的想法以至基本上他一个人让那时候世界上所有在代数几何上认真工作的人都很忙碌，”hartshorne注意到。他是如何让这个事业一直运行下来的呢？“我认为这没有什么简单答案，”michael artin回答说。不过显然格洛腾迪克的充沛精力和知识宽度是一些原因。“他非常的精力充沛，而且他涵盖很多领域，”artin说。“他能够完全控制这个领域达12年之久真是太不寻常了，这可不是个懒人集中营。”

在他ihés的岁月里，格洛腾迪克对数学的奉献是完全的。他的非凡精力和工作能力，以及对自身观点的顽强坚持，产生了思维的巨浪，将很多人冲入它的奔涌激流中。他没有在自己所设的令人畏惧的计划面前退缩，反而勇往直前地投入进去，冲向大大小小的目标。“他的数学议程比起一个人能做的要多出很多，”bass评价道。他将其中很多工作发包给他的学生们和合作者们来做，而自己也做了很大一部分的工作。给予他动力的，如他在《收获与播种》里所解释，就只是理解事情的渴望，而确实，那些知道他的人证明他不是由于什么形式的竞赛来推动自己的。“在那时，从没有过这样要在别人之前证明某个东西的想法，”serre解释道。而且在任何时候，“他不会和别的任何人竞赛，一个原因是他希望按他自己的方式来做事情，而几乎没有别的人愿意也这样做。完成它需要太多工作了。”

格洛腾迪克学派的统治地位有些有害的效果。甚至格洛腾迪克ihés的杰出同事，rené thom也感到有压力。在[fields]中，thom写道与其他同事的关系比较起来，他与格洛腾迪克的关系“不那么愉快”。“他的技术优势太有决定性了，”thom写道。“他的讨论班吸引了整个巴黎数学界，而我则没有什么新的东西可供给大家。这促使我离开了严肃数学世界而去处理更一般的概念，比如组织形态的发生，这个学科让我更感兴趣，引导我走向一个很一般形式的‘哲学’生物学。”

在他1988年的教材《本科生代数几何》最后的历史性评论中，miles reid写道：“对格洛腾迪克的个人崇拜有些严重的副作用：许多曾经花了一生很大一部分时间去掌握weil的代数几何基础的人觉得受到了拒绝和羞辱…整整一代学生（主要是法国人）被洗脑而愚蠢地认为如果一个问题不能放置于高效能的抽象框架里就不值得去研究。”如此“洗脑”可能是时代时尚无法避免的副产品，尽管格洛腾迪克自己从来不是为抽象化而追求抽象化的。

reid也注意到，除去少数可以“跟上步伐并生存下来”的格洛腾迪克的学生，从他的思想里得益最多的是那些在一段距离外受影响的人，特别是美国，日本和俄国的数学家。pierre cartier在俄国数学家，如vladimir drinfeld，maxim kontsevich，yuri manin和vladimir voevodsky的工作中看到了格洛腾迪克思想的传承。cartier说：“他们抓住了格洛腾迪克的真正精神，但他们能够将它和其他东西结合起来。”

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